Relatividad especial, Relatividad general y Transformación de Lorentz

Teoría general de la relatividad

La Teoría general de la relatividad es el nombre aceptado para la teoría gravitatoria publicada por Albert Einstein en 1915. De acuerdo con la teoría general de la relatividad, la fuerza de la gravedad es una manifestación de la geometría local del espacio-tiempo. Aunque la moderna teoría es debida a Einstein, sus orígenes se encuentran en los axiomas de la geometría euclídea y los muchos intentos de probar, a lo largo de los siglos, el quinto postulado de Euclides, que dice que las líneas paralelas permanecen siempre equidistantes, y que culminaron con la constatación por Bolyai y Gauss de que este axioma no es necesariamente cierto. Las matemáticas generales de la geometría no euclídea fueron desarrolladas por Riemann, discípulo de Gauss; pero no fue hasta después de que Einstein desarrolló la teoría de la relatividad especial que la geometría no Euclídea del espacio y el tiempo fue conocida.

Gauss demostró que no hay razón para que la geometría del espacio deba ser euclídea, lo que significa que si un físico pone una marca, y un cartógrafo permanece a una cierta distancia y se mide su longitud por triangulación basada en la geometría euclídea, entonces no está garantizado que sea dada la misma respuesta si el físico porta la marca consigo y mide su longitud directamente. Por supuesto, para una marca no podría medirse en la práctica la diferencia entre las dos medidas, pero que existen medidas equivalentes que deben detectar la geometría no euclídea del espacio-tiempo directamente, por ejemplo el experimento de Pound-Rebka (1959) detectó el cambio en la longitud de onda de la luz de una fuente de cobalto surgiendo por 22.5 metros contra la gravedad en un local del Laboratorio de Física Jefferson en la Harvard, y la cadencia de un reloj atómico en un satélite GPS alrededor de la Tierra tiene que ser corregida por efecto de la gravedad.

La idea fundamental en la relatividad es que no podemos hablar de las cantidades físicas de velocidad o aceleración sin definir antes el sistema de referencia de las mismas. Y dicho sistema de referencia es definido por elección particular. En tal caso, todo movimiento es definido y cuantificado relativamente a otra materia. En la teoría especial de la relatividad se asume que los sistemas de referencia pueden ser extendidos indefinidamente en todas las direcciones en el espacio-tiempo. Pero en la teoría gneral se reconoce que sólo es posible la definición de sistemas aproximados de forma local y durante un tiempo finito para regiones finitas del espacio (de forma similar a como podemos dibujar mapas planos de regiones de la superficie terrestre pero no podemos extenderlos para cubrir la superficie de toda la tierra sin sufrir distorsión). En relatividad general, las leyes de Newton son asumidas sólo en relación a sistemas de referencia locales. En particular, las partículas libres viajan trazando líneas rectas en sistemas inerciales locales (Lorentz). Cuando esas líneas se extienden, no aparecen como rectas, siendo llamadas geodésicas. Entonces, la primera ley de Newton se ve reemplazada por la ley del movimiento geodésico.

Distinguimos sistemas inerciales de referencia, en los que los cuerpos mantienen un movimiento uniforme sin la actuación de o sobre otros cuerpos, de los sistemas de referencia no inerciales en los que los cuerpos que se mueven libremente sufren una aceleración derivada del propio sistema de referencia. En sistemas de referencia no inerciales se percibe fuerza derivada del sistema de referencia, no por la influencia directa de otra materia. Nosotros sentimos fuerzas “gravitatorias” cuando vamos en un coche y giramos en una curva como la base física de nuestro sistema de referencia. De forma similar actúan el efecto Coriolis y la fuerza centrífuga cuando definimos sistemas de referencia basados en materia rotando (tal cual la Tierra o un niño dando vueltas). El principio de equivalencia en relatividad general establece que no hay experimentos locales que sean capaces de distinguir una caída no-rotacional en un campo gravitacional a partir del movimiento uniforme en ausencia de un campo gravitatorio. Es decir, no hay gravedad en un sistema de referencia en caída libre. Desde esta perspectiva la gravedad observada en la superficie de la Tierra es la fuerza observada en un sistema de referencia definido por la materia en la superficie que es no libre (es ligada) pero es activada hacia abajo por la materia terrestre, y es análoga a la fuerza “gravitatoria” sentida en un coche dando una curva.

Matemáticamente, Einstein modeló el espacio-tiempo por una variedad pseudo-Riemaniana, y sus ecuaciones de campo establecen que la curvatura de la variedad en un punto está relacionada directamente con es tensor de energía en dicho punto; dicho tensor es una medida de la densidad de materia y energía. La curvatura le dice a la materia como moverse, y de forma recíproca la materia le dice as espacio como curvarse. La ecuación de campo posible no es única, habiendo posibilidad de otros modelos sin contradecir la observación. La relatividad general se distingue de otras teorías de la gravedad por la simplicidad de acoplamiento entre materia y curvatura, aunque todavía no se ha resuelto su unificación con la Mecánica cuántica y el reemplazo de la ecuación de campo con una ley adecuada a la cuántica. Pocos físicos dudan que una teoría así, una teoría del todo dará a la relatividad general en el límite apropiado, así como la relatividad general predice la ley de la gravedad en el límite no relativista.

La ecuación de campo de Einstein contiene un parámetro llamado “constante cosmológica” ? que fue originalmente introducida por Einstein para permitir un universo estático. Este esfuerzo no tuvo éxito por dos razones: la inestabilidad del universo resultante de tales esfuerzos teóricos, y las observaciones realizadas por Hubble una década después confirman que nuestro universo es de hecho no estático sino en expansión. Así ? fue abandonada, pero de forma bastante reciente, técnicas astronómicas encontraron que un valor diferente de cero para ? es necesario para poder explicar algunas observaciones.

Las ecuaciones de campo se leen como sigue:

R_{ik} - {g_{ik} Rover 2} + land g_{ik} = 8 pi {Gover c^4} T_{ik}

donde Rik es el tensor de curvatura de Ricci, R es el escalar de curvatura de Ricci, gik es el tensor métrico, land es la constante cosmológica, Tik es el tensor de energía, p es pi, c es la velocidad de la luz en el vacío y G es la constante gravitatoria universal, de forma similar a lo que ocurre en la gravedad newtoniana. gik describe la métrica de la variedad y es un tensor simétrico 4 x 4, por lo que tiene 10 componentes independientes. Dada la libertad de elección de las cuatro coordenadas espacio-temporales, las ecuaciones independientes se reducen a seis.

Teoría especial de la relatividad

La Teoría (Especial o Restringida) de la Relatividad (en breve, relatividad especial o restringida, RE), publicada por primera vez por Albert Einstein en 1905, describe la física del movimiento en ausencia de campos gravitacionales. Antes de ella, la mayor parte de los físicos pensaban que la mecánica clásica de Isaac Newton, basada en la llamada relatividad de Galileo (origen de las ecuaciones matemáticas conocidas como transformaciones de Galileo) describía los conceptos de velocidad y fuerza para todos los observadores (o sistemas de referencia). Sin embargo, Hendrik Lorentz y otros, habían comprobado que las ecuaciones de Maxwell, que gobiernan el electromagnetismo, no se comportaban de acuerdo a las leyes de Newton cuando el sistema de referencia cambia (por ejemplo, cuando se considera el mismo problema físico desde el punto de vista de dos observadores que se mueven uno respecto del otro). La noción de transformación de las leyes de la física respecto a los observadores es la que da nombre a la teoría, que se ajusta con el calificativo de especial o restringida por ceñirse a casos de sistemas en los que no se tiene en cuenta campos gravitatorios. Una extensión de esta teoría es la teoría general de la relatividad, publicada igualmente por Einstein en 1916 e incluyendo a dichos campos.

Motivación de la teoria


Las leyes de Newton consideran que el tiempo y el espacio son los mismos para los diferentes observadores de un mismo fenómeno físico. Antes de formulación de la teoría especial de la relatividad, Hendrik Lorentz y otros ya habían descubierto que el electromagnetismo difería de la física newtoniana en que las observaciones de un fenómeno podrían diferir de una persona a otra que estuviera moviéndose relativamente a la primera a velocidades próximas a las de la luz. Así, una puede observar la inexistencia de un campo magnético mientras la otra observa dicho campo en el mismo espacio físico.

Lorentz sugirió una teoría del éter en la cual objetos y observadores viajarían a través de un éter estacionario, sufriendo un acortamiento físico (hipótesis de contracción de Lorentz) y un cambio en el paso del tiempo (dilatación del tiempo). Esto suministraba una reconciliación parcial entre la física newtoniana y el electromagnetismo, que se conjugaban aplicando la transformación de Lorentz, que vendría a sustituír a la transformación de Galileo vigente en el sistema newtoniano. Cuando las velocidades involucradas son mucho menores que c (la velocidad de la luz), las leyes resultantes son en la práctica las mismas que en la teoría de Newton, y las transformaciones se reducen a las de Galileo. De cualquier forma, la teoría del éter fue criticada incluso por el mismo Lorentz debido su naturaleza ad hoc.

Cuando Lorentz sugirió su transformación como una descripción matemática precisa de los resultados de los experimentos, Einstein derivó dichas ecuaciones de dos hipótesis fundamentales: la constancia de la velocidad de la luz, c, y la necesidad de que las leyes de la física sean iguales (invariantes en diferentes sistemas inerciales, es decir, para diferentes observadores. De esta idea surgió el título original de la teoría, ?Teoría de los invariantes?. Fue Max Planck quien sugirió posteriormente el término “relatividad” para resaltar la noción de transformación de las leyes de la física entre observadores moviéndose relativamente entre si.

La relatividad especial estudia el comportamiento de objetos y observadores que permanecen en reposo o se mueven con movimiento uniforme (i.e., velocidad relativa constante). En este caso, se dice que el observador está en un sistema de referencia inercial. La comparación de espacios y tiempos entre observadores inerciales puede ser realizada usando las transformaciones de Lorentz. La teoría especial de la relatividad pude predecir asimismo el comportamiento de cuerpos acelerados cuando dicha aceleración no implique fuerzas gravitatorias, en cuyo caso es necesaria la relatividad general

Invariancia de la velocidad de la luz


Para fundamentar la RE, Einstein postuló que la velocidad de la luz en el vacío es la misma para todos los observadores inerciales. Así mismo, resaltó que toda teoría física debe ser descrita por leyes que tengan forma matemática similar en cualquier sistema de referencia inercial. El primer postulado está en concordancia con las ecuaciones de Maxwell del electromanetismo, y el segundo utiliza un principio de razonamiento lógico, de la forma del principio antrópico.

Einstein mostró que de dichos principios se deducen las ecuaciones de Lorentz, y, al aplicarlas bajo estos conceptos, la mecánica resultante tiene varias propiedades interesantes:

Cuando las velocidades de los objetos considerados son mucho menores que la velocidad de la luz, las leyes resultantes son las descritas por Newton.
Así mismo, el electromagnetismo no es ya un conjunto de leyes que requiera una transformación diferente de la aplicada en mecánica.

El tiempo y el espacio dejan de ser invariantes al cambiar de sistema de referencia, pasando a ser dependiente de las velocidades relativas de los sistemas de referencia de los observadores: Dos eventos que ocurren simultáneamente en diferentes lugares para un sistema de referencia, pueden ocurrir en tiempos diferentes en otro sistema de referencia (la simultaneidad es relativa). De igual manera, si ocurren en un mismo lugar en un sistema, pueden ocurrir en lugares diferentes en otro.
Los intervalos temporales entre sucesos dependen del sistema de referencia en que se miden (por ejemplo, la célebre paradoja de los gemelos. Las distancias entres sucesos, también.
Las dos primeras propiedades resultaban muy atractivas, puesto que cualquier teoría nueva debe explicar las observaciones ya existentes, y éstas indicaban que las leyes de Newton eran muy precisas. La tercera conclusión fue inicialmente muy discutida, puesto que tiraba por tierra muchas conceptos bien conocidos y aparentemente obvios, como el concepto de simultaneidad.

Inexistencia de un sistema de referencia absoluto


Otra consecuencia es el rechazo de la noción de un único y absoluto sistema de referencia. Previamente se creía que el universo viajaba a través de una sustancia conocida como éter (identificable como el espacio absoluto) en relación a la cual podían ser medidas velocidades. Sin embargo, los resultados de varios experimentos, que culminaron en el famoso experimento de Michelson-Morley, sugirieron que, o la Tierra estaba siempre estacionaria (lo que es un absurdo), o la noción de un sistema de referencia absoluto era errónea y debía de ser desechada. Einstein concluyó con la teoría especial de la relatividad que cualquier movimiento es relativo, no existiendo ningún concepto universal de “estacionario”.

Equivalencia de masa y energía

famosa formula en un sello postal alemán

Pero quizás mucho más importante fue la demostración de que la energía y la masa, anteriormente consideradas propiedades medibles diferenciadas, eran equivalentes, y se relacionaban a través de la que es sin duda la ecuación más famosa de la teoría:

E = m·c2

donde E es la energía, m es la masa y c es la velocidad de la luz en el vacío. Si el cuerpo se está moviendo a la velocidad v relativa al observador, la energía total del cuerpo es:

E = gamma cdot m cdot c^2

donde

gamma = {1 over {sqrt {1-{v^2 over c^2}}}}

El término ? es frecuente en relatividad. Se deriva de las ecuaciones de transformación de Lorentz. Cuando v es mucho menor que c se puede utilizar la siguiente aproximación de ? (obtenida por el desarrollo en serie de Taylor) :

gamma = left ( {1-{v^2 over c^2}} right )^{-{1 over 2}} = 1- left ( - {1 over 2} right ) cdot {v^2 over c^2} + 0 cdot {v^4 over c^4} + ... approx 1 + {1 over 2} cdot {v^2 over c^2}

por tanto,

 gamma cdot m cdot c^2 approx m cdot c^2 + {1 over 2} cdot m cdot v^2

lo que es precisamente igual a la energía en reposo, mc2, más la energía cinética newtoniana, ½mv2. Este es un ejemplo de cómo las dos teorías coinciden cuando las velocidades son pequeñas.

Además, a la velocidad de la luz, la energía será infinita, lo que impide que las partículas que tienen masa en reposo puedan alcanzar la velocidad de la luz.

La implicación más práctica de la teoría es que pone un límite superior a las leyes de la Mecánica clásica y la gravedad propuestas por Isaac Newton cuando las velocidades se acercan a las de la luz. Nada que pueda transportar masa o información puede moverse más rápido que dicha velocidad. Cuando un objeto se acerca a la velocidad de la luz (en cualquier sistema) la cantidad de energía requerida para seguir aumentando su velocidad aumenta rápida y asintóticamente hacia infinito, haciendo imposible el alcanzar la velocidad de la luz. Sólo partículas sin masa, tales como los fotones, pueden alcanzar dicha velocidad (y de hecho deben trasladarse en cualquier sistema de referencia a esa velocidad) que es aproximadamente 300000 kilómetros por segundo (3·108 ms-1).

El nombre taquión ha sido usado para nombrar partículas hipotéticas que se podrían mover más rápido que la velocidad de la luz. En la actualidad, aún no ha sido hallada evidencia experimental de su existencia.

La relatividad especial también muestra que el concepto de simultaneidad es relativo al observador: Si la materia puede viajar a lo largo de una línea (trayectoria) en el espacio-tiempo sin cambiar de velocidad, la teoría llama a esta línea intervalo temporal, ya que un observador siguiendo dicha línea no podría sentir movimiento (estaría en reposo), sino tan solo viajar en el tiempo de acuerdo a sus sistema de referencia. Similarmente, un intervalo espacial significa una línea recta en el espacio-tiempo a lo largo de la que ni la luz ni otra señal más lenta podría viajar. Sucesos a lo largo de un intervalo espacial no pueden influenciarse uno a otro transmitiendo luz o materia, y pueden aparecer como simultáneos a un observador en un sistema de referencia adecuado. Para observadores en diferentes sistemas de referencia, el suceso A puede parecer anterior al B o viceversa. Esto no sucede cuando consideramos sucesos separados por intervalos temporales.

La Relatividad Especial es universalmente aceptada por la comunidad física en la actualidad, al contrario de la relatividad general que está confirmada, pero con experiencias que podrían no excluír alguna teoría alternativa de la gravitación. Sin embargo, hay aún un conjunto de gente opuesta a la RE en varios campos, habiéndose propuesto varias alternativas, como las llamadas Teorías del Éter.

La teoría

La RE usa tensores o cuadrivectores para definir un espacio no-euclídeo. Este espacio, sin embargo, es similar en muchos aspectos y fácil de trabajar de con el. La diferencial de la distancia (ds) en un espacio euclídeo viende definida como:

ds2=dx12+dx22+dx32

donde dx1, dx2, dx3 son diferenciales de las tres dimensiones espaciales. En la geometría de la relatividad especial, una cuarta dimensión, el tiempo, ha sido añadida, pero es tratada como una cantidad imaginaria con unidades de c, quedando la ecuación para la distancia, en forma diferencial, como:

ds2=dx12+dx22+dx32-c2dt2

Cono dual.

Si reducimos las dimensiones espaciales a 2, podemos hacer una representación física en un espacio tridimensional,

ds2=dx12+dx22-c2dt2

Podemos ver que las geodésicas con medida cero forman un cono dual:

definido por la ecuación

ds2=0=dx12+dx22-c2dt2

, o

dx12+dx22=c2dt2

La anterior ecuación es la de círculo con r=c*dt. Si extendemos lo anterior a las tres dimensiones espaciales, las geodésicas nulas son esferas concéntricas, con radio = distancia = c*(+ o -)tiempo.

Geodésicas.
ds2=0=dx12+dx22+dx32-c2dt2
dx12+dx22+dx32=c2dt2

Este doble cono de distancias nulas representa el “horizonte de visión” de un punto en el espacio. Esto es, cuando miaramos a las estrellas y decimos “La estrella de la que estoy recibiendo luz tiene X años.”, estamos viaendo a través de esa línea de visión: una geodésica de distancia nula. Estamos viendo un suceso a d=?{x12+x22+x32} metros, y d/c segundos en el pasados. Por esta razón el doble cono es también conocido como cono de luz. (El punto inferior de la izquierda del diagrama inferior representa la estrella, el origen representa el observador y la línea representa la geodésica nula, el “horizonte de visión” o cono de luz.)

Horizonte de visión.

Geometricamente, todos los “puntos” a lo largo del cono de luz dan información (representan) el mismo punto en el espacio-tiempo (a causa de que la distancia entre ellos es 0). Esto puede ser pensado como ‘un punto de neutralización’ de fuerzas. (“La conexión se produce cuando dos movimientos, cada uno de los cuales excluyente del otro, se juntan en un momento.” – cita de James Morrison) Es donde los sucesos en el espacio-tiempo intersectan, donde el espacio interactúa consigo mismo. Es como un punto ve el resto del universo y es visto. El cono en la región -t incluye la información que el punto recibe, mientras la región +t del cono engloba la información que el punto envía. De esta forma, lo que podemos visionar es un espacio de horizontes de visión y recaer en el concepto de autómata celular, aplicándolo en una secuencia continua espacio-temporal.

Espacio de horizontes de visión.

Sistemas inerciales.

Esto también cuenta para puntos en movimiento uniforme de traslación relativo sistemas inerciales. Lo que significa que la geometría del universo permanece la misma sea cual sea la velocidad(?x/? t) (inercial) del observador. Así recaemos en la primera ley de movimiento de Newton: «Un objeto en movimiento tiende a permanecer en movimiento; un objeto en reposo tiende a permanecer en reposo

Ley de conservación de la energía cinética

Sin embargo, la geometría no permanece constante cuando hay implicada aceleración (?x2/? t2) , lo que conlleva una aplicación de fuerza (F=ma), y en consecuencia un cambio en energía, lo que nos lleva a la relatividad general, en la que la curvatura intrínseca del espacio-tiempo es directamente proporcional a la densidad de energía en dicho punto.

Modificaciones de la relatividad especial

A comienzo del siglo XXI han sido postuladas un cierto número de versiones modificadas de la relatividad especial.

Tests de postulados de la relatividad especial

Transformación de Lorentz

Las transformaciones de Lorentz, dentro de la teoría de la relatividad especial, son un conjunto de relaciones que dan cuenta de cómo se relacionan las medidas de una magnitud física obtenidas por dos observadores diferentes. Estas relaciones establecieron la base matemática de la teoría de la relatividad especial de Einstein, ya que las transformaciones de Lorentz precisan el tipo de geometría del espacio-tiempo requeridas por la teoría de Einstein.

Históricamente las transformaciones de Lorentz fueron introducidas por Hendrik Antoon Lorentz (1853 – 1928), que las había introducido fenoménicamente para resolver ciertas inconsistencias entre el electromagnetismo y la mecánica clásica. Lorentz había descubierto en el año 1900 que las ecuaciones de Maxwell resultaban invariantes bajo este conjunto de transformaciones, ahora denominadas transformaciones de Lorentz. Al igual que los demás físicos, antes del desarrollo de la teoría de la relatividad, asumía que la velocidad invariante para la transmisión de las ondas electromagnéticas se refería a la transmisión a través de un sistema de referencia privilegiado, hecho que se conoce con el nombre de hipótesis del éter. Sin embargo, tras la interpretación por parte de Albert Einstein de dichas relaciones como transformaciones de coordenadas genuinas en un espacio-tiempo tetradimensional la hipótesis del éter fue puesta en entredicho.

Las transformaciones de Lorentz fueron publicadas en 1904 pero su formalismo matemático inicial era incorrecto. El matemático francés Poincaré desarrolló el conjunto de ecuaciones en la forma consistente en la que se conocen hoy en día. Los trabajos de Minkowski y Poincaré mostraron que las relaciones de Lorentz podían interpretarse como las fórmulas de transformación para rotación en el espacio-tiempo cuatridimensional, que había sido introducido por Minkowski.

Forma de las transformaciones de LorentzLas transformaciones de Lorentz relacionan las medidas de una magnitud física realizadas por dos observadores inerciales diferentes, siendo el equivalente relativista de la transformación de Galileo utilizada en física hasta aquel entonces.

La transformación de Lorentz permite preservar el valor de la velocidad de la luz constante para todos los observadores inerciales.

Transformaciones de Lorentz de las coordenadasUna de las consecuencias de que —a diferencia de lo que sucede en la mecánica clásica— en mecánica relativista no exista un tiempo absoluto, es que tanto el intervalo de tiempo entre dos sucesos, como las distancias efectivas medidas por diferentes observadores en diferentes estados de movimiento son diferentes. Eso implica que las coordenadas de tiempo y espacio medidas por dos observadores inerciales difieran entre sí. Sin embargo, debido a la objetividad de la realidad física las medidas de unos y otros observadores son relacionables por reglas fijas: las transformaciones de Lorentz para las coordenadas.

 

Para examinar la forma concreta que toman estas transformaciones de las coordenadas se consideran dos sistemas de referencia inerciales u observadores inerciales: O , y bar{O} y se supone que cada uno de ellos representa un mismo suceso S o punto del espacio-tiempo (representable por un instante de tiempo y tres coordenadas espaciales) por dos sistemas de coordenadas diferentes:

S_O = (t,x,y,z) qquad S_{bar{O}} = (bar{t}, bar{x}, bar{y}, bar{z})

Puesto que los dos conjuntos de cuatro coordenadas representan el mismo punto del espacio-tiempo, estas deben ser relacionables de algún modo. Las transformaciones de Lorentz dicen que si el sistema bar{O} está en movimiento uniforme a velocidad V, a lo largo del eje X del sistema O, y en el instante inicial (t = bar{t} = 0) el origen de coordenadas de ambos sistemas coinciden, entonces las coordenadas atribuidas por los dos observadores están relacionadas por las siguientes expresiones:

bar{x} = frac{x - Vt}{sqrt{1 - frac{V^2}{c^2}}} qquad bar{t} = frac{t - frac{V x}{c^{2}}}{sqrt{1 - frac{V^2}{c^2}}} qquad bar{y} = y qquad bar{z} = z ,

O equivalentemente por las relaciones inversas de las anteriores:

x = frac{bar{x} + Vbar{t}}{sqrt{1 - frac{V^2}{c^2}}} qquad t = frac{bar{t} + frac{V bar{x}}{c^{2}}}{sqrt{1 - frac{V^2}{c^2}}} qquad y = bar{y} qquad z = bar{z}

Donde c , es la velocidad de la luz en el vacío. Las relaciones anteriores se pueden escribir también en forma matricial:

 begin{bmatrix} cbar{t} \ bar{x} \ bar{y} \ bar{z} end{bmatrix} = begin{bmatrix} gamma & -betagamma & 0 & 0 \ -betagamma & gamma & 0 & 0 \                 0 & 0 & 1 & 0 \                 0 & 0 & 0 & 1  end{bmatrix}begin{bmatrix} ct \ x \ y \ z end{bmatrix} qquad begin{bmatrix} c t \ x \ y \ z end{bmatrix} = begin{bmatrix} gamma & betagamma & 0 & 0 \ betagamma & gamma & 0 & 0 \                 0 & 0 & 1 & 0 \                 0 & 0 & 0 & 1 end{bmatrix} begin{bmatrix} cbar{t} \ bar{x} \ bar{y} \ bar{z} end{bmatrix}

Donde se ha introducido para abreviar las expresiones el factor de Lorentz y la velocidad relativa respecto de la luz:

gamma = frac{1}{sqrt{1-frac{V^2}{c^2}}} qquad beta = frac{V}{c}

La transformación de Lorentz anterior toma esa forma en el supuesto de que el origen de coordenadas de ambos sistemas de referencia sea el mismo para t = 0; si se elimina esta restricción la forma concreta de las ecuaciones se complica. Si, además, se elimina la restricción de que la velocidad relativa entre los dos sistemas se dé según el eje X y que los ejes de ambos sistemas de coordenadas sean paralelos, las expresiones de la transformación de Lorentz se complican más aún, denominándose la expresión general transformación de Poincaré.

Transformaciones de Lorentz para el momento y la energía

El requerimiento de covariancia de la teoría de la relatividad requiere que cualquier magnitud vectorial de la mecánica newtoniana venga representada en mecánica relativista por un cuadrivector o cuadritensor en teoría de la relatividad. Así, el momento lineal requiere ser ampliado a un cuadrivector llamado cuadrivector energía-momento o cuadrimomento, que viene dado por cuatro componentes, una componente temporal (energía) y tres componentes espaciales (momentos lineales en cada dirección coordenada):

mathbf{P} = (P^0, P^1, P^2, P^3) = left(frac{E}{c},p_x, p_y, p_zright)

Cuando se examina los cuadrimomentos medidos por dos observadores inerciales, se encuentra que ambos miden componentes diferentes del momento según su velocidad relativa a la partícula observada (algo que también sucede en mecánica newtoniana). Si se denota al cuadrimomento medido por dos observadores inerciales O , y bar{O} con sistemas de coordenadas cartesianas de ejes paralelos y en movimiento relativo según el eje X, como los que se consideraron en el apartado anterior, los cuadrimomentos medidos por ambos observadores están relacionados por una transformación de Lorentz dada por:

bar{p}_x = frac{p_x - Efrac{V}{c^2}}{sqrt{1 - frac{V^2}{c^2}}} qquad bar{E} = frac{E - V p_x}{sqrt{1 - frac{V^2}{c^2}}} qquad bar{p}_y = p_y qquad bar{p}_z = p_z

Y la transformación inversa viene dada similarmente por:

p_x = frac{bar{p}_x + bar{E}frac{V}{c^2}}{sqrt{1 - frac{V^2}{c^2}}} qquad E = frac{bar{E} + V bar{p}_x}{sqrt{1 - frac{V^2}{c^2}}} qquad p_y = bar{p}_y qquad p_z = bar{p}_z

O equivalentemente en forma matricial los dos conjuntos anteriores de ecuaciones se represetan como:

 begin{bmatrix} bar{E}/c \ bar{p}_x \ bar{p}_y \ bar{p}_z end{bmatrix} = begin{bmatrix} gamma & -betagamma & 0 & 0 \ -betagamma & gamma & 0 & 0 \                 0 & 0 & 1 & 0 \                 0 & 0 & 0 & 1  end{bmatrix}begin{bmatrix} E/c \ p_x \ p_y \ p_z end{bmatrix} qquad begin{bmatrix} E/c \ p_x \ p_y \ p_z end{bmatrix} = begin{bmatrix} gamma & betagamma & 0 & 0 \ betagamma & gamma & 0 & 0 \                 0 & 0 & 1 & 0 \                 0 & 0 & 0 & 1 end{bmatrix} begin{bmatrix} bar{E}/c \ bar{p}_x \ bar{p}_y \ bar{p}_z end{bmatrix}

Donde se ha introducido de nuevo para abreviar las expresiones el factor de Lorentz y la velocidad relativa respecto de la luz.

Transformaciones de Lorentz para cuadrivectores

Hasta ahora se ha considerado sólo sistemas inerciales en movimiento relativo respecto al eje X, pero igualmente se podría haber considerado sistemas de ejes paralelos respecto a los ejes Y y Z y, en ese caso, las matrices de transformación de coordenadas vendrían dadas por matrices similares a las consideradas en los apartados anteriores de la forma:

Lambda_{(X)} = gamma_xbegin{bmatrix}          1 & -beta_x & 0 & 0 \          -beta_x & 1 & 0 & 0 \                 0 & 0 & 1 & 0 \                 0 & 0 & 0 & 1  end{bmatrix} qquad Lambda_{(Y)} = gamma_y begin{bmatrix}          1 & 0 & -beta_y & 0 \                 0 & 1 & 0 & 0 \          -beta_y & 0 & 1 & 0 \                 0 & 0 & 0 & 1  end{bmatrix} qquad Lambda_{(Z)} = gamma_z begin{bmatrix}          1 & 0 & 0 & -beta_z \                 0 & 1 & 0 & 0 \                 0 & 0 & 1 & 0 \           -beta_z & 0 & 0 & 1 end{bmatrix} qquad [*]

Las transformaciones anteriores se llaman a veces boosts, rotaciones espacio-temporales o a veces transformaciones de Lorentz propiamente dichas. El producto de cualquier número de transformaciones del tipo anterior constituye también una transformación de Lorentz. Todos esos productos conforman un subgrupo del grupo de Lorentz propio. En general el grupo de Lorentz propio está formado por:

  • Rotaciones espacio-temporales o boosts, que pueden escribirse como el producto de un número finito de boostsdel tipo [*].
  • Rotaciones espaciales, consistentes en un giro de ejes. Este tipo de transformación también forma parte del grupo de Galileo.

El grupo de Lorentz propio así definido es un grupo de Lie conexo. Si a estas transformaciones propias se le añaden transformaciones impropias como las inversiones temporales y las reflexiones espaciales resulta el grupo de Lorentz completo, formado por cuatro componentes conexas cada una de ellas homeomorfa al grupo de Lorentz propio. Una vez definido el grupo de Lorentz podemos escribir las transformaciones lineales más generales posibles entre medidas tomadas por observadores inerciales cuyos ejes de coordenadas coinciden en el instante inicial:

begin{bmatrix}bar{V}^0 \ bar{V}^1 \ bar{V}^2 \ bar{V}^3 end{bmatrix} = begin{bmatrix}           &  &  &  \           &  & R(theta_1,theta_2,theta_3) &  \           &  &  &  \           &  &  &  end{bmatrix} begin{bmatrix}          gamma & -gammabeta  & 0 & 0 \           -gammabeta & gamma & 0 & 0 \                 0 & 0 & 1 & 0 \                 0 & 0 & 0 & 1  end{bmatrix} begin{bmatrix}           &  &  &  \           &  & R(varphi_1,varphi_2,varphi_3) &  \           &  &  &  \           &  &  &  end{bmatrix} begin{bmatrix} V^0 \ V^1 \ V^2 \ V^3 end{bmatrix}

Donde además del boost que da la transformación de coordenadas según la velocidad de separación relativa se han incluido las dos rotaciones en términos de los ángulos de Euler:

  • La matriz R(?1,?2,?3) alinea el primer sistema de coordenadas de tal manera que el eje X transformado pase a ser paralelo a la velocidad de separación de los dos sistemas.
  • La matriz R(?1,?2,?3) es la rotación inversa de la que alinearía el eje X del segundo observador con la velocidad de separación.

En forma más compacta podemos escribir la última transformación en forma tensorial usando el convenio de sumación de Einstein como:

 bar{V}^alpha = Lambda_beta^alpha V^beta qquad Lambda_beta^alpha := {[R(theta)]}_rho^sigma [Lambda_{(X)}]_sigma^rho {[R(varphi)]}_beta^sigma

Forma tensorial general de las transformaciones de Lorentz

Supongamos ahora que en lugar de medir magnitudes vectoriales dos observadores se ponen a medir las componentes de alguna otra magnitud tensorial, supongamos que los observadores O, y bar{O} miden en sus sistemas de coordenadas la misma magnitud tensorial pero cada uno su propio sistema de coordenas llegando a:

 mathbf{T}_O = T_{alpha_{1},...alpha_{m}}^{beta_{1}...beta_{n}} quad frac{partial}{partial x^{alpha_1}} otimes ... frac{partial}{partial x^{alpha_m}} otimes dx^{beta_1} otimes  ... otimes dx^{beta_n}
 mathbf{T}_bar{O} = bar{T}_{alpha_{1},...alpha_{m}}^{beta_{1}...beta_{n}} quad frac{partial}{partial bar{x}^{alpha_1}} otimes ... frac{partial}{partial bar{x}^{alpha_m}} otimes dbar{x}^{beta_1} otimes  ... otimes dbar{x}^{beta_n}

El postulado de que existe una realidad objetiva independiente de los observadores y que las medidas de estos pueden ser comparadas mediante las transformaciones de covariancia adecuadas conduce a que si estos observadores son inerciales sus medidas estarán relacionadas por las sigientes relaciones:

bar{T}_{alpha_{1},...alpha_{m}}^{beta_{1}...beta_{n}} =  {[Lambda^T]}_{beta'_{1}}^{beta_{1}}...{[Lambda^T]}_{beta'_{n}}^{beta_{n}} quad [Lambda]_{alpha_{1}}^{alpha'_{1}}...[Lambda]_{alpha_{n}}^{alpha'_{n}} quad T_{alpha'_{1},...alpha'_{m}}^{beta'_{1}...beta'_{n}}

Donde las matrices ? se definen, al igual que el apartado anterior mediante el producto de dos rotaciones espaciales y una rotación temporal (boost) simple.

Bibliografia
Wikipedia.org
enciclopedia.us.es

El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Wikipedia, publicada con licencia CC-BY-SA 3.0.

Articulo Original de la Relatividad pubicado en la Universidad Autonoma de Madrid

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